PERTEMUAN 15 (LUAS DAERAH YANG DIBATASI KURVA DAN DUA KURVA)
Luas daerah yang beraturan dapat dihitung menggunakan rumus yang sudah ditentukan, lalu bagaimana untuk luas daerah yang tidak beraturan? Solusinya adalah menghitung luas daerah dengan integral. Misalnya, luas persegi dapat dicari dengan menggunakan rumus sisi x sisi, persegi panjang dapat dicari dengan menggunakan rumus panjang x lebar, sedangkan luas yang dibatasi oleh kurva x2 dan garis y = x dapat dihitung dengan menggunakan integral.
mengenai luas daerah yang dibatasi sebuah kurva pada pembahasan di bawah.
Penggunaan Integral dalam Menentukan Luas Daerah di Bawah Kurva
Luas, luasan, atau area adalah besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi (dwigatra) suatu bagian permukaan yang dibatasi dengan jelas, biasanya suatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup. Luas daerah dari bidang teratur seperti persegi panjang, trapesium, segitiga dan sebagainya dapat dengan mudah ditentukan oleh rumus. Tapi untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva lengkung seperti kurva fungsi kuadrat, kurva fungsi akar, dan sebagainya sulit ditentukan hanya dengan rumus. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dapat ditentukan dengan menggunakan konsep integral tentu.
Luas daerah yang terletak di atas sumbu X
Langkah pertama untuk menentukan luas daerah yang terletak di atas sumbu X adalah menentukan batas-batas daerahnya terlebih dahulu. Batas-batas daerah yang akan ditentukan luasnya dapat diperoleh dengan mudah melalui sketsa. Batas-batas tersebut dapat berupa garis vertikal, horizontal, atau perpotongan kurva dengan sumbu koordinat.
Langkah kedua adalah mengintegralkan fungsi yang sesuai dengan kurvanya dengan menggunakan batas-batas integral yang sudah ditentukan. Berikut ini adalah rumus umum luas daerah yang berada di atas sumbu X.
Luas daerah yang terletak di bawah sumbu X
Langkah untuk menentukan luas daerah yang terletak di bawah sumbu X mirip dengan langkah untuk menentukan luas daerah yang terletak di atas sumbu X. Bedanya, nilai dari integralnya akan bertanda negatif. Agar nilainya tak negatif (nilai dari luas daerah merupakan bilangan tak negatif), integralnya kita kalikan dengan negatif. Berikut ini gambar dan rumus dari luas daerah yang terletak di bawah sumbu X.
Nilai integral A di atas pastilah negatif, A<0. Karena luas berupa bilangan tak negatif, A kita kalikan dengan negatif sehingga menjadi tak negatif.
Luas antara dua kurva
Secara umum, penyelesaian luas daerah dengan menggunakan integral tentu selalu melibatkan batas. Batas-batas ini ada yang dapat ditentukan dengan mudah hanya dengan dengan melihat sketsa, ada juga yang perlu dicari menggunakan bantuan konsep lain seperti konsep sistem persamaan.
Misalnya, dari sketsa diperoleh bahwa batasnya merupakan titik potong dari dua kurva, untuk menentukan titik potongnya substitusi saja kedua fungsi dari dua kurva tersebut [f(x)=g(x)].
Integran yang digunakan untuk menentukan luas antara dua kurva adalah pengurangan fungsi dari kurva yang terletak di atas dengan kurva yang terletak di bawahnya [f(x)-g(x)]. Jika sulit menentukan kurva mana yang di atas dan kurva mana yang di bawah cukup dengan membuat garis vertikal yang memotong kedua kurva tersebut. Kurva yang memotong garis vertikal di atas merupakan kurva yang terletak di atas, sedangkan kurva yang memotong garis vertikal di bawah merupakan kurva yang terletak di bawah.
Berikut ini gambar dan rumus luas daerah antara dua kurva.
Pada kasus ini, f(x) terletak di atas g(x) atau bisa dikatakan bahwa f(x)>g(x). Makna lainnya adalah bahwa di setiap titik pada interval antara a dan b, nilai f(x) selalu lebih besar daripada nilai g(x).
Luas daerah yang dibatasi garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat
Khusus untuk daerah antara kurva garis-kuadarat atau kuadrat-kuadrat, ada rumus cepat yang bisa digunakan secara langsung tanpa melalui proses integral. Tapi ingat, yang namanya rumus cepat ada syarat dan ketentuannya. Rumus ini hanya dapat digunakan untuk daerah yang hanya dibatasi oleh kurva garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat tanpa ada batas-batas lainnya. Kalau ada batas-batas lainnya rumus ini tidak berlaku.
Untuk memudahkan mengingatnya, rumus di atas kita baca sebagai
DVD GaGa
Nilai a dan D=b2-4ac diperoleh dari persamaan kuadrat persekutuan ax2+bx+c=0. Persamaan kuadrat persekutuan diperoleh dari hasil substitusi kedua fungsi dari masing-masing kurva.
Pembuktian rumus.
Misal persamaan kuadrat persekutuan kedua fungsi adalah sebagai berikut.
ax2+bx+c
Akar-akar dari persamaan kuadrat persekutuan di atas adalah sebagai berikut.
Dengan menggunakan integral, luas daerah antara garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat adalah sebagai berikut.
Untuk menentukan luas daerah dengan batas di sumbu Y, ubah terlebih dahulu fungsinya menjadi x=f(y), kemudian gunakan batas-batas di sumbu Y tersebut sebagai batas integral dan gunakan dy sebagai peubah integralnya, karena integralnya terhadap peubah y.
Luas, luasan, atau area adalah besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi (dwigatra) suatu bagian permukaan yang dibatasi dengan jelas, biasanya suatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup. Luas daerah dari bidang teratur seperti persegi panjang, trapesium, segitiga dan sebagainya dapat dengan mudah ditentukan oleh rumus. Tapi untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva lengkung seperti kurva fungsi kuadrat, kurva fungsi akar, dan sebagainya sulit ditentukan hanya dengan rumus. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dapat ditentukan dengan menggunakan konsep integral tentu.
Luas daerah yang terletak di atas sumbu X
Langkah pertama untuk menentukan luas daerah yang terletak di atas sumbu X adalah menentukan batas-batas daerahnya terlebih dahulu. Batas-batas daerah yang akan ditentukan luasnya dapat diperoleh dengan mudah melalui sketsa. Batas-batas tersebut dapat berupa garis vertikal, horizontal, atau perpotongan kurva dengan sumbu koordinat.
Langkah kedua adalah mengintegralkan fungsi yang sesuai dengan kurvanya dengan menggunakan batas-batas integral yang sudah ditentukan. Berikut ini adalah rumus umum luas daerah yang berada di atas sumbu X.
Luas daerah yang terletak di bawah sumbu X
Langkah untuk menentukan luas daerah yang terletak di bawah sumbu X mirip dengan langkah untuk menentukan luas daerah yang terletak di atas sumbu X. Bedanya, nilai dari integralnya akan bertanda negatif. Agar nilainya tak negatif (nilai dari luas daerah merupakan bilangan tak negatif), integralnya kita kalikan dengan negatif. Berikut ini gambar dan rumus dari luas daerah yang terletak di bawah sumbu X.
Nilai integral A di atas pastilah negatif, A<0. Karena luas berupa bilangan tak negatif, A kita kalikan dengan negatif sehingga menjadi tak negatif.
Luas antara dua kurva
Secara umum, penyelesaian luas daerah dengan menggunakan integral tentu selalu melibatkan batas. Batas-batas ini ada yang dapat ditentukan dengan mudah hanya dengan dengan melihat sketsa, ada juga yang perlu dicari menggunakan bantuan konsep lain seperti konsep sistem persamaan.
Misalnya, dari sketsa diperoleh bahwa batasnya merupakan titik potong dari dua kurva, untuk menentukan titik potongnya substitusi saja kedua fungsi dari dua kurva tersebut [f(x)=g(x)].
Integran yang digunakan untuk menentukan luas antara dua kurva adalah pengurangan fungsi dari kurva yang terletak di atas dengan kurva yang terletak di bawahnya [f(x)-g(x)]. Jika sulit menentukan kurva mana yang di atas dan kurva mana yang di bawah cukup dengan membuat garis vertikal yang memotong kedua kurva tersebut. Kurva yang memotong garis vertikal di atas merupakan kurva yang terletak di atas, sedangkan kurva yang memotong garis vertikal di bawah merupakan kurva yang terletak di bawah.
Berikut ini gambar dan rumus luas daerah antara dua kurva.
Pada kasus ini, f(x) terletak di atas g(x) atau bisa dikatakan bahwa f(x)>g(x). Makna lainnya adalah bahwa di setiap titik pada interval antara a dan b, nilai f(x) selalu lebih besar daripada nilai g(x).
Luas daerah yang dibatasi garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat
Khusus untuk daerah antara kurva garis-kuadarat atau kuadrat-kuadrat, ada rumus cepat yang bisa digunakan secara langsung tanpa melalui proses integral. Tapi ingat, yang namanya rumus cepat ada syarat dan ketentuannya. Rumus ini hanya dapat digunakan untuk daerah yang hanya dibatasi oleh kurva garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat tanpa ada batas-batas lainnya. Kalau ada batas-batas lainnya rumus ini tidak berlaku.
Untuk memudahkan mengingatnya, rumus di atas kita baca sebagai
DVD GaGa
Nilai a dan D=b2-4ac diperoleh dari persamaan kuadrat persekutuan ax2+bx+c=0. Persamaan kuadrat persekutuan diperoleh dari hasil substitusi kedua fungsi dari masing-masing kurva.
Pembuktian rumus.
Misal persamaan kuadrat persekutuan kedua fungsi adalah sebagai berikut.
ax2+bx+c
Akar-akar dari persamaan kuadrat persekutuan di atas adalah sebagai berikut.
Dengan menggunakan integral, luas daerah antara garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat adalah sebagai berikut.
Untuk menentukan luas daerah dengan batas di sumbu Y, ubah terlebih dahulu fungsinya menjadi x=f(y), kemudian gunakan batas-batas di sumbu Y tersebut sebagai batas integral dan gunakan dy sebagai peubah integralnya, karena integralnya terhadap peubah y.
Luas Daerah Diantara Dua Kurva
Pembahasan berikutnya adalah luas daerah yang dibatasi dua kurva. Cara menghitung luas daerah yang dibataasi dua kurva sama dengan cara menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva, pada pembahasan sebelumnya. Hanya saja, dalam mencari luas daerah yang dibatasi dua buah kurva, banyaknya fungsi yang terlibat ada dua, bahkan lebih.
Perhatikan gambar dan rumus untuk luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)
Berikut ini akan diberikan contoh soal dan pembahasan tentang menentukan luas daerah yang dibatasi dua buah kurva.
Tentukan luas yang dibatasi oleh garis y = −x + 2 dan y = x2
Jawab:
Pertama, yang perlu dikerjakan adalah melihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya, seperti gambar berikut ini.
Selanjutnya adalah menentukan batas atas dan batas bawah (titik perpotongan dua kurva).
Sehingga diperoleh nilai x = – 2 dan x = 1.
Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = – x + 2 adalah
Keterangan: tanda negatif pada hasil akhir menujukkan bahwa pemisalan fungsi pertama dan kedua tidak tepat namun hasilnya tidak mempengaruhi nilai yang diperoleh, sehingga diambil nilai mutlak dari hasil akhirnya.
Komentar
Posting Komentar