PERTEMUAN 11 ( INTEGRAL FUNGSI RASIONAL )

Juli 13, 2020

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Dalam teknik integrasi, banyak sekali jenis-jenis fungsi yang akan kita temui. Mulai dari fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi trigonometri, fungsi irasional dan salah satunya adalah fungsi rasional. Yang akan dibahas kali ini adalah teknik integrasi untuk fungsi rasional. Sebelumnya, kembali pada pengertian fungsi rasional itu sendiri yaitu fungsi yang memiliki bentuk : f(x)=g(x)/h(x) , dimana g(x) dan h(x) adalah fungsi polinomial.

Dalam teknik pengintegralannya, fungsi rasional dibagi menjadi 2 bagian yaitu: Derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebutDerajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebutPembilang merupakan turunan dari penyebutFaktor Linier yang Berbeda pada PenyebutFaktor Linier yang berulangFaktor Linier Berbeda dan Ada yang berulangPenyebut mengandung faktor kuadrat tunggalPenyebut mengandung faktor kuadrat berulangDalam tulisan kali ini kami akan membahas teknik pengintegralan untuk bagian Penyebut mengandung faktor kuadrat tunggal dan faktor kuadrat berulang.

Untuk selanjutnya, akan dibahas mengenai teknik pengintegralan untuk fungsi pecah rasional. Untuk $n\in\mathbb{N}$ , fungsi

$\begin{equation*} P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x^{1}+a_{0}, \end{equation*}$

dengan $a_{n}\neq 0$ disebut dengan fungsi suku banyak (polinomial) berderajat $n$ . Selanjutnya, fungsi pecah rasional adalah fungsi yang berbentuk $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dengan $P(x)$ dan $Q(x)$ masing-masing fungsi polinomial dan keduanya tidak mempunyai faktor berserikat. Jika derajat $P(x)$ lebih besar atau sama dengan derajat $Q(x)$ maka $\frac{P(x)}{Q(x)}$ disebut dengan fungsi pecah rasional tidak sejati. Namun, jika tidak demikian maka $\frac{P(x)}{Q(x)}$ disebut dengan fungsi pecah rasional sejati.

Dalam hal $\frac{P(x)}{Q(x)}$ fungsi pecah rasional tidak sejati, maka $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsi polinomial dan fungsi pecah rasional sejati, yaitu

$\begin{equation*} \frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}, \end{equation*}$

dengan $H(x)$ dan $S(x)$ masing-masing polinomial dengan derajat $S(x)$ kurang dari derajat $Q(x)$ . Dengan demikian, apabila diintegralkan diperoleh:

$\begin{equation*} \int{\frac{P(x)}{Q(x)}}~dx=\int{H(x)}~dx+\int{\frac{S(x)}{Q(x)}}~dx. \end{equation*}$

Mengingat hal tersebut maka untuk selanjutnya cukup dibahas mengenai integral fungsi pecah rasional sejati saja.

Selanjutnya, diperhatikan jika $P(x)=kQ'(x)$ , dengan $k$ menyatakan sebarang konstanta. Dengan demikian, apabila dihitung nilai integral dengan menggunakan metode substitusi $t=Q(x)$ , diperoleh